Kerron Emilian tarinan hänen vanhempiensa luvalla. Emilia on peitenimi.

Alkuvaikeudet – Koulu tarjosi helpotetun kirjan, mutta ei ratkaisua

Jo ensimmäisellä luokalla matematiikka tuntui Emilialle vaikealta. Opettaja tarjosi tukiopetusta, ja vanhemmat auttoivat läksyissä, mutta Emilia ei löytänyt matematiikan punaisesta langasta kiinni. Lopulta koulu antoi Emilialle helpotetun kirjan, jonka tehtävät olivat muuta luokkaa yksinkertaisempia, eikä häneltä enää vaadittu samaa osaamista kuin muilta.

Toisen luokan alkaessa vanhemmat alkoivat pohtia, olisiko Emilia mahdollista auttaa vielä eteenpäin matematiikassa. He kysyivät itseltään: voisiko Emilia oppia ymmärtämään matematiikkaa syvemmin, ja miten häntä voisi tukea? Näin me tapasimme. Kerroin vanhemmille, että voimme alkaa vahvistaa Emilian matemaattisen ajattelun perustaa, tukea hänen itseluottamustaan ja etsiä hänelle sopivia tapoja oppia.

Matematiikan yksityisopetus alkoi perusteista

Matematiikan taitojen rakentaminen on kuin linnan pystyttämistä – ilman vankkaa perustaa linna ei pysy pystyssä. Aloitimme Emilian kanssa perusteista, ja etenimme aivan alkeista, pelien ja ongelmanratkaisutehtävien avulla. Näiden tehtävien avulla Emilia pääsi tutustumaan matematiikan hauskuuteen ja sai konkreettisen mallin siitä, miten asioita voi ajatella monipuolisesti ja luovasti.

Panostin myös siihen, että Emilia ymmärtää, että kanssani virheiden tekeminen on sallittua ja jopa toivottavaa. Matematiikan oppiminen on täynnä kokeiluja ja erehdyksiä, joista voi oppia. Moni lapsi kehittää monenlaisia keinoja piilottaakseen epävarmuutensa, mikä voi olla stressaavaa. Siksi opettajan ja oppilaan välinen luottamus on avainasemassa. Kun lapsi uskaltaa paljastaa todellisen osaamisen tasonsa, oppiminen helpottuu huomattavasti.

Emilian suurin haaste oli heikko matematiikkaminäkuva – hän uskoi vahvasti, että matematiikka on jotain mahdotonta. Syitä tähän ei tiedetä, mutta käsitys omasta osaamisesta voi muuttua vähitellen onnistumisten ja tarkoituksenmukaisen tuen avulla. Emilian tapauksessa tähän tarvittiin noin vuoden mittainen tukijakso.

Kahden vuoden jälkeen luottamus omiin kykyihin

Emilia kävi luonani säännöllisesti kahden vuoden ajan. Vähitellen hänen tapansa suhtautua matematiikkaan muuttui. Hän oppi perustelemaan ratkaisujaan, uskalsi yrittää ja selviytyi yhä haastavammista tehtävistä. Myös hänen matematiikan kokeidensa arvosanat nousivat.

Matematiikasta tuli vähitellen yksi Emilian vahvuuksista. 

Muutos ei syntynyt oikotiestä. Palasimme epävarmoiksi jääneisiin perustaitoihin, etenimme Emilian tahdissa ja harjoittelimme asioita useilla eri tavoilla. Kun Emilia alkoi ymmärtää, miksi laskutavat toimivat, matematiikka ei enää tuntunut ulkoa muistettavilta säännöiltä.

Onnistumiset vahvistivat hänen luottamustaan omiin kykyihinsä. Matematiikasta tuli oppiaine, jota hänen ei enää tarvinnut pelätä tai vältellä.

Mitä Emilian tarina opettaa?

Emilian tarina osoittaa, että matemaattista ajattelua voidaan rakentaa uudelleen. Kun oppilas saa edetä omalta tasoltaan ja kokea aitoja oivalluksia, myös käsitys omasta osaamisesta voi muuttua.

Matematiikan vaikeuksien taustalla voi olla aikaisemmin opituissa perustaidoissa olevia aukkoja. Silloin uusien asioiden jatkuva harjoitteleminen ei välttämättä auta, vaan ensin on selvitettävä, missä kohdassa ymmärtäminen on alkanut horjua.

Yksilöllisessä opetuksessa voidaan pysähtyä juuri näihin kohtiin. Käytän opetuksessa esimerkiksi helmiä, lukusuoraa, pistekortteja, pelejä, piirtämistä ja oppilaan oman ajattelun sanoittamista. Tavoitteena ei ole vain saada oikeita vastauksia, vaan auttaa oppilasta ymmärtämään, mitä hän tekee ja miksi.

Onko lapsesi matematiikan oppimisessa kohtia, jotka eivät harjoittelusta huolimatta avaudu? Kysy vapaata asiakaspaikkaa. Yhteydenotto ei sido mihinkään.

Kun aloitimme työskentelyn, emme lähteneet suoraan harjoittelemaan vaikeita laskuja. Ensin selvitimme, mitkä matematiikan perustaidot olivat jääneet epävarmoiksi. Niitä vahvistamalla myös uudet asiat alkoivat vähitellen avautua.

Ainon tarina osoittaa, ettei matematiikan oppimiselle ole ikärajaa. Kun opetus lähtee oppijan todellisesta osaamistasosta ja etenee ymmärrys edellä, pitkään vaikeilta tuntuneet asiat voivat muuttua opittaviksi.

Tarina on julkaistu oppilaan luvalla. Hänen nimensä on muutettu yksityisyyden suojaamiseksi.

Matematiikka oli ollut Ainolle vaikeaa jo koulussa

Kun tapasin Ainon, hän oli 19-vuotias lähihoitaja. Hän halusi jatkaa sairaanhoitajaksi, mutta matematiikka tuntui olevan unelman tiellä. Pääsykokeiden lisäksi tulevissa opinnoissa pitäisi hallita lääkelaskut varmasti ja täsmällisesti.

Aino oli saanut kouluaikana tukea matematiikkaan, mutta monet asiat olivat jääneet hänelle epäselviksi. Hän oli oppinut ajattelemaan, ettei vain osannut matematiikkaa. Uusien tehtävien yrittämiseen liittyi epävarmuutta ja pelkoa epäonnistumisesta.

Tällaisessa tilanteessa pelkkä ajankohtaisten tehtävien harjoitteleminen ei välttämättä riitä. Ensin täytyy selvittää, mille taidoille uusi oppiminen rakentuu ja missä kohdassa ymmärtämiseen on jäänyt aukkoja.

Matematiikan oppiminen aikuisena alkaa perusteista

Ainon kanssa palasimme aivan perusasioihin. Harjoittelimme lukujonoja, lukumäärien välisiä suhteita sekä yhteen- ja vähennyslaskujen sujuvuutta.

Aikuisesta voi tuntua oudolta palata näin varhaisiin taitoihin. Tarkoituksena ei kuitenkaan ole tehdä helppoja tehtäviä niiden itsensä vuoksi, vaan vahvistaa perustaa, jonka varaan myöhemmät laskutaidot rakentuvat.

Kun perusta alkoi vahvistua, etenimme murtolukuihin, prosentteihin ja verrantoihin. Samalla harjoittelimme lääkelaskuissa tarvittavaa matemaattista ajattelua.

Aino ei opetellut vain suorittamaan laskukaavoja. Hänen piti ymmärtää, mitä luvut ja laskutoimitukset tarkoittavat sekä pystyä arvioimaan, onko saatu vastaus järkevä.

Oivallukset muuttivat käsityksen omasta osaamisesta

Harjoittelun edetessä Ainon epävarmuus alkoi vähentyä. Kun hän ymmärsi, miksi jokin laskutapa toimii, hänen ei enää tarvinnut yrittää muistaa kaikkea irrallisina sääntöinä.

Onnistumiset vahvistivat vähitellen hänen luottamustaan omiin kykyihinsä. Matematiikka ei muuttunut yhdessä hetkessä helpoksi, mutta siitä tuli ymmärrettävää ja opittavaa.

Puolen vuoden työskentelyn jälkeen Aino oli edennyt perustaitojen vahvistamisesta pääsykokeissa ja lääkelaskuissa tarvittaviin sisältöihin.

Unelma sairaanhoitajan opinnoista toteutui

Pääsykokeiden koittaessa Aino tiesi harjoitelleensa tavoitteellisesti ja rakentaneensa osaamisensa aikaisempaa vahvemmalle perustalle. Pian kokeen jälkeen hän kertoi päässeensä opiskelemaan sairaanhoitajaksi.

Ainon onnistuminen ei perustunut siihen, että joku olisi antanut hänelle helpon keinon selvitä kokeesta. Hän rakensi puuttuvia perustaitoja, harjoitteli sinnikkäästi ja oppi ymmärtämään omaa matemaattista ajatteluaan.

Matematiikka ei enää sulkenut ovea hänen tavoitteeltaan.

Mitä Ainon tarina opettaa?

Ainon tarina osoittaa, että matematiikan oppiminen aikuisena voi avata tien myös sellaisiin opintoihin ja ammatteihin, jotka ovat aikaisemmin tuntuneet saavuttamattomilta. Pitkään jatkuneet matematiikan vaikeudet eivät tarkoita, ettei ihminen voisi oppia matematiikkaa. Joskus vaikeuksien taustalta löytyy perustaidoissa olevia aukkoja, jotka tekevät myöhemmistä asioista tarpeettoman raskaita.

Siksi opetuksessa on tärkeää selvittää ensin, mitä oppija jo ymmärtää ja missä kohdassa ajattelu alkaa horjua. Sen jälkeen taitoja voidaan rakentaa järjestelmällisesti omalta lähtötasolta eteenpäin.

Yksilöllisessä opetuksessa voidaan pysähtyä juuri niihin asioihin, jotka oppijalle ovat vaikeita. Tavoitteena ei ole vain saada oikeita vastauksia, vaan auttaa oppijaa ymmärtämään, mitä hän tekee ja miksi.

Ovatko matematiikan vaikeudet alkaneet rajoittaa sinun tai lapsesi opintoja ja tulevaisuuden suunnitelmia? Kysy vapaata asiakaspaikkaa. Yhteydenotto ei sido mihinkään.

Vaikeudet eivät kuitenkaan tarkoita, ettei matematiikkaa voisi oppia. Usein tarvitaan tarkempi selvitys siitä, mitä oppija jo ymmärtää ja mihin kohtaan matemaattisen ajattelun rakentuminen on pysähtynyt.

Kaikki eivät opi samoja asioita samalla tavalla, samassa ajassa tai yhtä pitkälle. Jokainen voi silti vahvistaa matemaattista ajatteluaan ja oppia uusia taitoja omista lähtökohdistaan.

Matematiikan oppimisvaikeudet voivat alkaa perusteista

Matematiikan taidot rakentuvat aikaisemmin opittujen taitojen varaan. Jos esimerkiksi lukumäärän ja numeron välinen yhteys on jäänyt epävarmaksi, myöhemmin opeteltavat yhteen- ja vähennyslaskut voivat tuntua raskailta. Jos kymmenjärjestelmän ymmärtäminen horjuu, allekkainlaskut, desimaaliluvut ja prosentit vaikeutuvat.

Oppija saattaa selviytyä pitkään muistamalla yksittäisiä sääntöjä. Kun tehtävät monimutkaistuvat, ulkoa opitut keinot eivät kuitenkaan enää riitä. Silloin ongelma ei välttämättä ole parhaillaan opeteltavassa asiassa, vaan jossakin paljon aikaisemmassa taidossa.

Tämän vuoksi saman tehtävätyypin toistaminen yhä uudelleen ei aina auta. Ensin pitää löytää kohta, josta ymmärtämistä lähdetään rakentamaan uudelleen.

Mistä tiedetään, mitä pitäisi harjoitella?

Työskentely alkaa oppijan taitojen ja ajattelutapojen havainnoimisesta. Pelkkä oikea tai väärä vastaus ei vielä kerro, mitä oppija ymmärtää.

Pyydän oppijaa näyttämään, piirtämään tai selittämään, miten hän päätyi vastaukseen. Tarkastelen esimerkiksi lukujonotaitoja, lukumäärien hahmottamista, lukujen välisiä suhteita ja sitä, millaisia laskustrategioita hän käyttää.

Jos lapsi ratkaisee laskun 8 + 5 laskemalla kaikki esineet aina alusta, vastaus voi olla oikea, mutta laskeminen on hidasta ja kuormittavaa. Harjoittelussa voidaan silloin vahvistaa esimerkiksi luvun hajottamista, kymppipareja ja joustavampia laskutapoja.

Kun vaikeuden taustalla oleva kohta löytyy, harjoittelu voidaan suunnata siihen. Oppijan ei tarvitse tehdä kaikkea alusta, vaan juuri niitä asioita, joiden varaan seuraavat taidot rakentuvat.

Matematiikka tehdään näkyväksi

Matemaattisia käsitteitä voi olla vaikea ymmärtää pelkkien numeroiden ja laskumerkkien avulla. Siksi käytän opetuksessa konkreettisia välineitä, kuten helminauhoja, lukusuoraa, pistekortteja ja erilaisia esineitä.

Sama asia voidaan rakentaa välineillä, piirtää kuvaksi, sanoittaa ja kirjoittaa lopuksi matematiikan merkeillä. Oppija näkee, mitä laskussa tapahtuu, eikä hänen tarvitse turvautua pelkästään muistisääntöön.

Pelit tuovat harjoitteluun toistoa ilman, että jokainen tehtävä tuntuu samanlaiselta. Samalla voidaan harjoitella esimerkiksi lukumäärien nopeaa hahmottamista, vertailua, laskustrategioita ja oman vuoron odottamista.

Tärkeä kysymys opetuksessa on: Miksi?

Kun oppija osaa kertoa, miksi ratkaisu toimii, osaaminen on yleensä vahvemmalla pohjalla kuin silloin, kun hän muistaa vain laskukaavan.

Myös käsitys omasta osaamisesta vaikuttaa

Pitkään jatkuneet vaikeudet voivat saada lapsen tai aikuisen ajattelemaan: ”En vain ole matikkaihminen.” Tehtävien aloittaminen alkaa jännittää, virheitä vältellään ja pienikin epäonnistuminen tuntuu vahvistavan vanhaa käsitystä.

Siksi opetuksessa tarvitaan sopivan tasoisia tehtäviä ja aitoja onnistumisia. Tehtävien ei pidä olla niin helppoja, ettei oppimista tapahdu, mutta ei myöskään niin vaikeita, että oppija joutuu jatkuvasti arvaamaan.

Tavoitteena ei ole kehua kaikkea tekemistä, vaan auttaa oppijaa huomaamaan oma edistymisensä: tämän osasit jo, tässä käytit toimivaa strategiaa ja tämän asian ymmärrät nyt paremmin kuin aikaisemmin.

Luottamus omiin kykyihin vahvistuu vähitellen, kun oppija huomaa pystyvänsä ymmärtämään matematiikkaa.

Milloin matematiikan vaikeuksiin kannattaa hakea apua?

Lisätuesta voi olla hyötyä, jos:

• samat perusasiat unohtuvat jatkuvasta harjoittelusta huolimatta
• laskeminen perustuu pitkään sormien tai yksitellen laskemisen varaan
• kotitehtävät aiheuttavat jatkuvasti riitoja, ahdistusta tai välttelyä
• matematiikan tehtävät vievät huomattavasti odotettua enemmän aikaa
• oppija osaa laskusäännön, mutta ei ymmärrä, miksi sitä käytetään
• vaikeudet alkavat rajoittaa opintoihin tai ammattiin liittyviä suunnitelmia.

Tuen tarkoituksena ei ole korvata koulun opetusta. Yksilöllisessä opetuksessa voidaan käyttää enemmän aikaa oppijan ajattelun tutkimiseen, epävarmoiksi jääneiden perustaitojen vahvistamiseen ja juuri hänelle sopivien työskentelytapojen löytämiseen.

Matematiikan oppimisvaikeudet eivät määrittele ihmisen kykyjä tai tulevaisuutta. Oppiminen voi vaatia tavallista enemmän aikaa, toistoa ja erilaisia tapoja käsitellä asioita, mutta ymmärrystä voidaan rakentaa askel kerrallaan.

Jäävätkö samat matematiikan asiat harjoittelusta huolimatta epäselviksi? Kysy vapaata asiakaspaikkaa. Yhteydenotto ei sido mihinkään.

Voi tietenkin. Itse asiassa lapsen matemaattiset valmiudet alkavat kehittyä paljon ennen kuin hän oppii lausumaan ensimmäisen numeron tai laskemaan ääneen.

Pienen lapsen matematiikka ei kuitenkaan tarkoita numeroiden opettelemista, tehtäväkirjoja tai sitä, että lapselle pitäisi alkaa pitää oppitunteja. Se tarkoittaa tavallista elämää: kehon käyttämistä, liikkumista, esineiden tutkimista, vertailemista, lajittelemista ja asioista puhumista yhdessä aikuisen kanssa.

Matemaattisen ajattelun ensimmäiset valmiudet

Jo hyvin pienellä vauvalla on valmiuksia havaita ympäristöstään erilaisia määriä ja muutoksia. Vauva huomaa, jos jotakin tulee lisää tai häviää. Vähitellen lapsi alkaa erottaa esimerkiksi sen, missä on enemmän ja missä vähemmän.

Tämä ei tarkoita, että vauva osaisi laskea. Kyse on paljon varhaisemmista valmiuksista, joiden päälle myöhempi lukumäärien ja lukujen ymmärtäminen alkaa rakentua.

Näitä taitoja ei tarvitse erikseen opettaa vauvalle. Riittää, että lapsi saa olla vuorovaikutuksessa aikuisen kanssa ja tutkia maailmaa kaikilla aisteillaan. Tavallinen arki tarjoaa siihen jatkuvasti mahdollisuuksia.

Myös kehon hahmottaminen tukee matemaattista ajattelua

Lapsi hahmottaa maailmaa aluksi oman kehonsa kautta. Hän oppii vähitellen, missä hänen kätensä, jalkansa ja muut kehonsa osat ovat. Samalla alkavat rakentua käsitykset suunnista, sijainneista, etäisyyksistä ja asioiden välisistä suhteista.

Missä on ylhäällä ja missä alhaalla? Mikä on lähellä ja mikä kaukana? Kumpi käsi on edessä ja kumpi takana? Mahtuuko keho tuolin alle tai tyynyjen väliin? Kuinka korkealle täytyy kurkottaa?

Nämä ovat samalla myös matemaattisen ajattelun kysymyksiä.

Matematiikka ei synny pelkästään numeroista. Sen perustaan kuuluvat myös avaruudellinen hahmottaminen, järjestys, suunta, muoto, koko ja erilaisten suhteiden ymmärtäminen. Lapsi kohtaa näitä asioita jatkuvasti liikkuessaan ja leikkiessään.

Matematiikan oppimisvaikeuksien yhteydessä voi esiintyä myös kehon hahmottamisen, avaruudellisen hahmottamisen tai motoriikan vaikeuksia. Näin ei ole kaikilla, eikä motorinen kömpelyys yksin tarkoita matematiikan oppimisvaikeutta. Liikkumisella, kehollisilla kokemuksilla ja konkreettisella tekemisellä on silti tärkeä paikka lapsen kehityksessä ja matematiikan oppimisessa.

Myös sormet ovat lapselle tärkeä matemaattinen väline. Sormilla laskeminen auttaa hahmottamaan lukumääriä, lukujen välisiä suhteita ja kymmenjärjestelmän perustaa.

Anna lapsen liikkua ja tutkia

Kun vauva alkaa kääntyä, ryömiä, kontata ja lopulta kävellä, hänen maailmansa laajenee valtavasti. Hän pääsee itse tutkimaan etäisyyksiä, korkeuksia, muotoja ja tilaa.

Lapsi oppii, miltä tuntuu mennä pöydän alle, kiertää tuoli, nousta portaita tai rakentaa tyynyistä rata. Hän kokeilee, mahtuuko esine laatikkoon, voiko pienemmän kupin laittaa suuremman sisään ja kuinka korkean tornin palikoista pystyy rakentamaan.

Tällainen toiminta näyttää aikuisen silmissä tavalliselta leikiltä. Samalla siinä kehittyy kuitenkin paljon sellaista ajattelua, jota tarvitaan myöhemmin matematiikassa.

Lapselle kannattaa antaa mahdollisuuksia:

• kiivetä, ryömiä, tasapainoilla ja hyppiä
• rakentaa palikoilla ja erilaisilla esineillä
• täyttää ja tyhjentää astioita
• järjestää esineitä riveihin ja ryhmiin
• tutkia, mikä mahtuu minkäkin sisään
• vertailla esineiden kokoa, pituutta ja painoa
• koota palapelejä
• leikkiä vedellä, hiekalla ja erilaisilla luonnonmateriaaleilla.

Näiden asioiden ei tarvitse näyttää opetukselta. Pienen lapsen tärkein tapa oppia on leikki.

Matematiikka kehittyy myös puheessa

Aikuisen käyttämällä kielellä on suuri merkitys. Lapsi oppii matemaattisia käsitteitä, kun niitä käytetään tavallisissa tilanteissa.

Voit sanoa esimerkiksi:

• Sinulla on kaksi sukkaa.
• Tässä kupissa on enemmän vettä.
• Tämä torni on korkeampi.
• Laita auto laatikon sisään.
• Nalle on tuolin takana.
• Otetaan vielä yksi.
• Nyt kaikki kolme ovat täällä.
• Kumpi näistä on suurempi?
• Kumpi tulee ensin?

Tarkoituksena ei ole tentata lasta. Paljon tärkeämpää on puhua siitä, mitä lapsi tekee ja huomaa. Näin lapsi saa kokemuksilleen sanat ja alkaa vähitellen ymmärtää käsitteiden välisiä suhteita.

Numerot ja lukusanat kuuluvat tietysti mukaan. Lapselle voi laskea ääneen portaita, sormia, lusikoita, varpaita tai pihalla näkyviä autoja. Aluksi lapsi oppii lukusanat loruna. Vasta vähitellen hän ymmärtää, että viimeiseksi sanottu lukusana kertoo, kuinka monta esinettä joukossa on.

Lajittelu ja vertailu ovat matematiikkaa

Pieni lapsi lajittelee mielellään tavaroita. Hän voi laittaa autot yhteen koriin, eläimet toiseen tai etsiä samanväriset palikat. Lajitellessaan lapsi joutuu huomaamaan, mikä esineissä on samanlaista ja mikä erilaista.

Myös vertailu kuuluu matemaattisen ajattelun perustaan:

• kummassa on enemmän
• mikä on suurin
• mikä on pisin
• mikä ei kuulu joukkoon
• missä järjestyksessä nämä ovat
• mitä puuttuu?

Näitä voi harjoitella ilman ainuttakaan tehtäväpaperia. Ruokapöytä, pyykkikori, lelut, ulkoilu ja kauppareissu tarjoavat jatkuvasti tilanteita, joissa lapsi voi luokitella, vertailla ja päätellä.

Aikuisen tehtävä ei ole kiirehtiä

Joskus vanhempi innostuu harjoittelemaan lapsen kanssa niin paljon, että lapsen oma tutkiminen ja leikki jäävät taka-alalle. Sitä kannattaa välttää.

Pienen lapsen ei tarvitse osata luetella numeroita mahdollisimman pitkälle eikä tunnistaa numeroita ennen muita. Ulkoa opittu lukujono ei vielä tarkoita, että lapsi ymmärtäisi lukumääriä.

Tärkeämpää on, että lapsi saa rauhassa tutkia, ihmetellä ja kokeilla. Aikuinen voi olla mukana, nimetä asioita, esittää välillä kysymyksen ja antaa lapselle aikaa ajatella.

Jos lapsi ei kiinnostu jostakin leikistä, sen voi jättää sikseen ja kokeilla myöhemmin uudelleen. Oppimisen ei pidä muuttua pienen lapsen suorittamiseksi.

Milloin kannattaa kiinnittää enemmän huomiota?

Lapset kehittyvät eri tahtiin, eikä yksittäisestä vaikeudesta tarvitse huolestua. Jos lapsella on kuitenkin laajemmin vaikeuksia esimerkiksi lukumäärien, järjestyksen, vertailun, kehon hahmottamisen, tilan tai ohjeiden ymmärtämisessä, asiaa kannattaa seurata.

Huolta voi herättää esimerkiksi se, että lapsi:

• ei tunnista pieniä lukumääriä ilman yksitellen laskemista
• ei ymmärrä käsitteitä enemmän, vähemmän tai yhtä paljon
• sekoittaa jatkuvasti lukujonon järjestyksen
• ei osaa yhdistää lukusanaa oikeaan määrään
• tarvitsee tavallista enemmän apua suuntien, sijaintien tai järjestyksen hahmottamiseen
• välttelee pitkään kaikkea määriin ja laskemiseen liittyvää.

Yksittäinen havainto ei vielä kerro oppimisvaikeudesta. Olennaista on katsoa kokonaisuutta ja sitä, miten taidot kehittyvät ajan myötä.

Varhainen tuki ei tarkoita sitä, että lapselle annetaan lisää paperitehtäviä. Se tarkoittaa sopivia leikkejä, konkreettisia välineitä, liikettä, puhetta ja lapsen omasta osaamistasosta lähtevää harjoittelua.

Tavallinen arki riittää pitkälle

Pienen lapsen matemaattisen ajattelun tukemiseen ei tarvita kallista välineistöä eikä erityistä harjoitusohjelmaa. Tarvitaan aikaa, yhteistä tekemistä ja aikuinen, joka huomaa ympärillä olevan matematiikan.

Laskekaa portaita. Verratkaa kiviä. Rakentakaa torneja. Lajitelkaa sukkia. Piiloutukaa pöydän alle ja tuolin taakse. Miettikää, kummalle lautaselle jäi enemmän marjoja. Antakaa lapsen selittää, mitä hän huomasi.

Matematiikka on mukana lapsen elämässä jo kauan ennen ensimmäistä matematiikan kirjaa. Kun lapsi saa tutkia sitä leikkien, liikkuen ja oivaltaen, hänelle rakentuu pohjaa myöhempää oppimista varten.

Herättävätkö lapsen lukumäärien, lukujonon, vertailun tai hahmottamisen taidot kysymyksiä? Voit kysyä minulta vapaata asiakaspaikkaa. Yhteydenotto ei sido mihinkään.

Lähteitä

Izard, V. ym. (2009): Newborn infants perceive abstract numbers.PNAS/PMC

Tran, C. ym. (2017): Support of mathematical thinking through embodied cognition.Cognitive Research

Flores, P. ym. (2023): Association between motor and math skills in preschool children.Frontiers in Psychology

Soylu, F. ym. (2018): The Role of Fingers in Early Mathematical Development.Journal of Numerical Cognition

Jos vastaus on oikein, olemme tyytyväisiä ja siirrymme seuraavaan tehtävään. Jos vastaus on väärin, alamme neuvoa oikeaa laskutapaa.

Minua kiinnostaa kuitenkin enemmän se, miten lapsi päätyi vastaukseensa.

Oikea vastaus ei vielä kerro, että lapsi ymmärtää asian. Hän on voinut muistaa säännön, arvata tai matkia aikaisemmin tehtyä esimerkkiä. Väärä vastauskaan ei tarkoita, ettei lapsi ymmärtäisi mitään. Ajatus on saattanut olla aivan oikea, mutta matkalla on tullut pieni laskuvirhe.

Siksi kysyn usein:

• Miten ajattelit?
• Näytä, miten ratkaisit tehtävän.
• Miksi teit juuri noin?
• Voisiko tämän ratkaista toisella tavalla?
• Mistä tiedät, että vastaus on järkevä?

Näiden kysymysten avulla pääsen paljon lähemmäksi sitä, mitä oppija todella ymmärtää.

Lapsen matemaattinen ajattelu tulee näkyväksi vasta silloin, kun hän kertoo, näyttää tai piirtää, miten hän päätyi ratkaisuunsa.

Lapsen matemaattinen ajattelu täytyy saada näkyviin

Matemaattinen ajattelu tapahtuu suurelta osin oppijan mielessä. Opettaja näkee paperissa yleensä vain laskun ja vastauksen.

Jos vastaus on väärä, samannäköisen virheen taustalla voi olla monta aivan erilaista syytä. Oppija on voinut ymmärtää tehtävänannon väärin, sekoittaa laskutoimitukset, unohtaa jonkin laskun vaiheen tai käyttää strategiaa, joka kuormittaa muistia liikaa.

Jos näen vain vastauksen, joudun arvaamaan, missä vaikeus on.

Kun oppija kertoo, näyttää, piirtää tai rakentaa oman ratkaisunsa, hänen ajattelunsa tulee näkyväksi. Vasta silloin voin auttaa oikeassa kohdassa.

Siksi en tyydy tarkistamaan, onko vastaus oikein. Haluan tietää, miten siihen on päädytty.

Oikea vastaus voi syntyä ilman ymmärrystä

Matematiikassa voi päästä pitkälle opettelemalla sääntöjä ulkoa. Oppija voi muistaa, miten tietyn näköinen tehtävä ratkaistaan, vaikka ei ymmärtäisi, mitä laskussa tapahtuu.

Tämä toimii niin kauan kuin tehtävät pysyvät samanlaisina.

Vaikeudet alkavat usein silloin, kun tehtävä näyttää vähän erilaiselta tai opittua taitoa pitäisi soveltaa uudessa tilanteessa. Ulkoa opeteltu sääntö ei enää auta, jos oppija ei ymmärrä, miksi sitä käytetään.

Esimerkiksi lapsi voi osata laskea 8 + 5 ja antaa oikean vastauksen 13. Se ei kuitenkaan vielä kerro, miten hän laski.

Laskiko hän kaikki esineet tai sormet alusta asti yksi kerrallaan? Lähtikö hän kahdeksasta ja jatkoi viisi lukua eteenpäin? Hajottiko hän viiden kahteen ja kolmeen, täydensi ensin kymmenen ja lisäsi loput kolme?

Kaikki nämä voivat tuottaa saman oikean vastauksen. Ne kertovat kuitenkin hyvin erilaisesta osaamisesta ja siitä, mitä seuraavaksi kannattaa harjoitella.

Lapsi ei välttämättä aluksi osaa selittää

Kun kysyn lapselta ensimmäisiä kertoja, miten hän ajatteli, vastaus voi olla:

”En tiedä.”

Tai:

”Mä vaan laskin.”

Tämä ei tarkoita, ettei lapsi olisi ajatellut. Hän ei ehkä ole koskaan joutunut pukemaan omaa matemaattista ajatteluaan sanoiksi. Hän saattaa myös kuvitella, että kysyn siksi, koska vastaus oli väärä.

Monelle lapselle miksi-kysymys tarkoittaa: teit jotakin väärin, selitäpä nyt.

Siksi kysyn samoja asioita myös silloin, kun vastaus on oikein. Näin lapsi oppii vähitellen, ettei oman ajattelun selittäminen ole rangaistus eikä kuulustelu. Se kuuluu matematiikan oppimiseen.

Kaikkea ei myöskään tarvitse osata kertoa heti valmiina lauseina. Lapsi voi näyttää ratkaisunsa välineillä, piirtää sen tai tehdä saman laskun uudelleen hitaasti. Minä voin auttaa sanoittamalla:

”Huomasin, että lähdit suuremmasta luvusta ja jatkoit siitä eteenpäin. Ajattelitko näin?”

Vähitellen oppija saa sanoja omalle ajattelulleen.

Pelkkä ”miksi?” ei aina auta

Aikuisen on helppo toistaa kysymystä ”miksi?”, vaikka lapsi ei ymmärrä, mitä häneltä odotetaan.

Silloin tarvitaan tarkempia kysymyksiä:

• Mistä luvusta aloitit?
• Mitä teit seuraavaksi?
• Näytä tämä helmillä.
• Voisitko piirtää, mitä laskussa tapahtuu?
• Mikä tässä tehtävässä oli vaikeinta?
• Minkä kohdan tiesit varmasti?
• Miten voisit tarkistaa vastauksen?

Jos lapsi ei osaa vastata, aikuinen voi näyttää mallia ja kertoa oman ajattelunsa ääneen:

”Minä ajattelin ensin, että kahdeksasta puuttuu kaksi kymmeneen. Otin siis viidestä kaksi ja jäljelle jäi kolme. Siksi 8 + 5 on 10 + 3 eli 13.”

Tavoitteena ei ole opettaa yhtä ainoaa oikeaa tapaa, vaan näyttää, että matemaattinen ratkaisu muodostuu pienistä ajattelun vaiheista.

Virhe kertoo, mitä kannattaa harjoitella

Virheet ovat minulle tärkeää tietoa.

Jos korjaan vastauksen heti itse, menetän mahdollisuuden nähdä, miten oppija ajattelee. Siksi en kiirehdi kertomaan oikeaa vastausta.

Saatan kysyä:

”Oletko tähän vastaukseen tyytyväinen?”

”Voisiko se olla järkevä?”

”Miten voisimme tarkistaa sen?”

Joskus oppija huomaa itse, missä ajatus meni väärään suuntaan. Se on paljon arvokkaampi oppimiskokemus kuin se, että opettaja vain merkitsee vastauksen vääräksi ja näyttää oikean laskutavan.

Tarkoituksena ei tietenkään ole jättää lasta yksin tuskailemaan. Aikuisen pitää auttaa sopivasti. Apua annetaan kuitenkin niin, ettei samalla tehdä kaikkea ajattelua lapsen puolesta.

Perusteleminen vahvistaa ymmärrystä

Kun oppija selittää oman ratkaisunsa, hän joutuu itsekin tarkastelemaan ajatteluaan. Miksi tämä tapa toimii? Voisiko sen tehdä toisella tavalla? Onko vastaus mahdollinen?

Selittäminen voi auttaa huomaamaan oman virheen tai löytämään laskusta rakenteen, jota ei ollut aikaisemmin huomannut. Samalla opettaja saa tietoa siitä, onko asia todella ymmärretty vai perustuuko osaaminen muistettuun sääntöön.

Tutkimuksissa oman ajattelun selittämisen on havaittu tukevan matematiikan oppimista. Hyöty ei kuitenkaan synny siitä, että lasta vain käsketään selittämään. Kysymysten pitää olla oppijan tasolle sopivia, ja hänen pitää saada tarvittaessa mallia, välineitä ja aikaa.

Kotona ei tarvitse muuttua opettajaksi

Vanhemman ei tarvitse osata matematiikan opetusmenetelmiä voidakseen tukea lapsen ajattelua.

Kotitehtävissä voi kokeilla tavallisen ”Minkä vastauksen sait?” -kysymyksen tilalla esimerkiksi näitä:

• Kerro, mitä tehtävässä piti selvittää.
• Näytä minulle, mistä aloitit.
• Mikä tässä oli helppoa?
• Missä kohdassa jouduit miettimään?
• Voisiko tämän tehdä jotenkin muuten?
• Onko vastaus mielestäsi järkevä?

Jos lapsi ei osaa, vanhemman ei tarvitse alkaa kuulustella. Tehtävän voi rakentaa esineillä, piirtää tai jättää hetkeksi hautumaan.

Tärkeintä on osoittaa, että ajattelulla on enemmän merkitystä kuin nopeudella. Matematiikassa ei tarvitse olla ensimmäinen, joka antaa vastauksen.

Näin työskentelen yksilöllisessä opetuksessa

Kun oppija tulee luokseni, en aloita vain katsomalla, minkä luokan tehtäviä hän osaa tehdä. Tarkastelen sitä, miten hän hahmottaa lukumääriä, millaisia laskustrategioita hän käyttää ja pystyykö hän perustelemaan ratkaisujaan.

Pyydän häntä näyttämään ajattelunsa esimerkiksi helmillä, lukusuoralla, pistekorteilla, piirtämällä tai kertomalla. Joskus oikean vastauksen alta löytyy hyvin epävarma strategia. Joskus taas väärän vastauksen takana on hyvä ajatus, joka tarvitsee vain pienen korjauksen.

Kun näen, miten oppija ajattelee, minun ei tarvitse harjoituttaa kaikkea alusta. Voimme keskittyä juuri siihen kohtaan, jossa ymmärtäminen alkaa horjua.

Tavoitteena ei ole vain oppia tekemään tehtäviä oikein. Tavoitteena on, että oppija ymmärtää, mitä hän tekee, osaa tarkistaa omaa työtään ja uskaltaa luottaa omaan ajatteluunsa.

Kun lapsen oma ajattelu saadaan näkyviin, voidaan myös paremmin huomata, missä kohdassa hän tarvitsee tukea matematiikan oppimisessa.

Osaako lapsesi laskea, mutta hänen on vaikea kertoa, miksi laskutapa toimii? Jäävätkö samat asiat harjoittelusta huolimatta epäselviksi? Voit kysyä minulta vapaata asiakaspaikkaa. Yhteydenotto ei sido mihinkään. ei sido mihinkään.

Lähteitä

Rittle-Johnson, B. ym. (2024): Encouraging students to explain their ideas when learning mathematics

National Research Council (2001): Adding It Up: Helping Children Learn Mathematics

Lapsi ei opi suhtautumaan matematiikkaan vain koulussa. Hän kuuntelee myös sitä, miten me aikuiset puhumme matematiikasta, omista taidoistamme ja hänen osaamisestaan.

Moni aikuinen sanoo aivan huomaamattaan:

Minäkin olin aina huono matematiikassa.

Tai:

Meidän suvussa ei ole matikkapäätä.

Tarkoitus voi olla hyvä. Aikuinen yrittää ehkä lohduttaa lasta ja kertoa, ettei vaikeuksissa ole mitään hävettävää. Lapsi voi kuitenkin kuulla viestin toisin: matematiikan osaaminen on ominaisuus, joka joko on tai ei ole. Jos sitä ei ole minulle syntymässä annettu, en voi asialle mitään.

Siksi sillä on merkitystä, miten matematiikasta kotona puhutaan.

Asenne vaikuttaa, mutta se ei yksin ratkaise

Asenteen merkitystä ei pidä vähätellä, mutta en halua myöskään väittää, että lapsi oppii matematiikkaa vain ajattelemalla myönteisesti.

Jos matematiikan perustassa on puutteita, niitä ei korjata tsemppilauseilla. Lapsi tarvitsee opetusta, harjoittelua ja tehtäviä, jotka alkavat oikeasta kohdasta. Joskus tarvitaan myös hyvin konkreettisia välineitä ja aivan toisenlainen tapa selittää asia.

Myönteinen asenne auttaa lasta yrittämään uudelleen, sietämään keskeneräisyyttä ja pysymään tehtävän äärellä hieman pidempään. Se tekee oppimiselle tilaa. Varsinainen taito rakentuu kuitenkin harjoittelemalla ja ymmärtämällä.

Minusta nämä kaksi asiaa kuuluvat aina yhteen: lapsen on saatava uskoa siihen, että hän voi oppia, ja samalla hänen on saatava sellaista opetusta, jonka avulla oppiminen on oikeasti mahdollista.

Vanhemman asenne matematiikkaan välittyy lapselle

Lapset ovat taitavia tulkitsemaan aikuisten ilmeitä, äänenpainoja ja odotuksia. Jos aikuinen jännittää matematiikkaa tai välttelee sitä, lapsi voi alkaa ajatella, että matematiikka on jotakin vaikeaa ja pelottavaa.

Tutkimuksissa vanhemman matematiikka-ahdistuksen on havaittu olevan yhteydessä lapsen matematiikan oppimiseen erityisesti silloin, kun vanhempi auttaa usein matematiikan kotitehtävissä. Tämä ei tarkoita, ettei matematiikkaa jännittävä vanhempi saisi auttaa lastaan. Tärkeämpää on tunnistaa omat tunteensa eikä siirtää niitä huomaamatta lapseen.

Lapselle voi sanoa esimerkiksi:

Minulle matematiikka oli koulussa välillä vaikeaa, mutta ehkä voimme yhdessä selvittää, miten tämä toimii.

Se on aivan eri viesti kuin:

En minäkään tätä osaa. Matematiikka on ihan kamalaa.

Ensimmäisessä lauseessa vaikeus myönnetään, mutta ratkaisun mahdollisuus jätetään avoimeksi.

Älä määrittele lasta matematiikan perusteella

Lapsi alkaa helposti muodostaa itsestään käsitystä matematiikan oppijana.

Olen huono matematiikassa.

En vain ymmärrä numeroita.

Kaikki muut osaavat nopeammin.

Kun lapsi sanoo näin, häntä ei välttämättä auta se, että aikuinen vastaa vain: Etkä ole, olet oikein hyvä.

Jos lapsen kokemus on toinen, hän ei usko tätä. Parempi vastaus voisi olla:

Et osaa tätä vielä. Selvitetään, mikä kohta tässä tuntuu vaikealta.

Sana vielä on tärkeä. Se kertoo, ettei nykyinen osaaminen ole lopullinen tuomio.

Lasta ei myöskään kannata määritellä erityisen lahjakkaaksi matematiikassa. Jos hänelle on jatkuvasti kerrottu, että hänellä on hyvä matikkapää, ensimmäinen vaikea tehtävä voi tuntua vaaralliselta. Entä jos en osaakaan? Olenko sitten menettänyt sen ominaisuuden, josta minua on kehuttu?

Siksi kehuisin mieluummin lapsen toimintaa:

Huomasit itse, ettei ensimmäinen tapa toiminut, ja kokeilit toista.

Jaksoit tutkia tehtävää, vaikka vastaus ei tullut heti.

Piirsit tilanteen, ja sen avulla löysit ratkaisun.

Osasit kertoa, miten ajattelit.

Tällainen palaute auttaa lasta huomaamaan, mitä hän voi tehdä oppiakseen.

Virhe ei ole merkki siitä, ettei lapsi osaa

Matematiikassa virhe näkyy usein hyvin selvästi. Vastaus on oikein tai väärin. Siksi matematiikka voi alkaa tuntua lapsesta aineelta, jossa hänen osaamistaan ja älykkyyttään arvioidaan koko ajan.

Minulle virhe on ennen kaikkea tieto.

Kun lapsi tekee virheen ja kertoo, miten hän ajatteli, näen usein paljon enemmän kuin pelkästä oikeasta vastauksesta. Voin huomata, ymmärtääkö hän lukumäärän, käyttääkö hän toimivaa laskustrategiaa tai onko jokin aikaisempi asia jäänyt epävarmaksi.

Aikuisen ensimmäisen kysymyksen ei siksi tarvitse olla:

Miten et tätä osannut?

Parempia kysymyksiä ovat:

Miten lähdit ratkaisemaan tätä?

Voitko näyttää välineillä tai piirtää, mitä ajattelit?

Missä kohdassa tehtävä muuttui vaikeaksi?

Voisiko tämän ratkaista jollakin toisella tavalla?

Tavoitteena ei ole kaivaa lapsesta selitystä väkisin. Jos lapsi ei osaa kertoa ajattelustaan, aikuinen voi auttaa näyttämällä vaihtoehtoja ja kokeilemalla asiaa yhdessä.

Nopeus ei ole sama asia kuin matemaattinen taitavuus

Moni lapsi alkaa pitää itseään huonona matematiikassa, koska joku toinen laskee nopeammin.

Nopeudesta on joissakin tilanteissa hyötyä. Esimerkiksi pienten laskujen automatisoituminen helpottaa myöhempää matematiikkaa. Matemaattinen osaaminen on kuitenkin paljon muutakin kuin nopeita vastauksia.

Siihen kuuluu esimerkiksi lukumäärien ja lukujen välisten suhteiden hahmottaminen, ongelmanratkaisu, päättely, joustavien strategioiden käyttäminen ja oman ratkaisun perusteleminen.

Hitaasti ajatteleva lapsi voi ymmärtää asian erittäin hyvin. Nopeasti vastaava lapsi voi puolestaan käyttää ulkoa opittua sääntöä ymmärtämättä, miksi se toimii.

Siksi en tekisi matematiikasta jatkuvaa kilpailua. Jokainen harjoitus ei tarvitse aikaa mittaavaa kelloa, eikä lapsen tarvitse voittaa muita ollakseen hyvä matematiikassa.

Vanhemman ei tarvitse ryhtyä matematiikanopettajaksi

Kotona tärkein tehtävä ei ole opettaa koulun asioita etukäteen tai osata selittää kaikkea samalla tavalla kuin opettaja.

Vanhempi voi tukea lasta olemalla kiinnostunut hänen ajattelustaan.

Voit esimerkiksi kysyä:

• Miten päädyit tähän vastaukseen?
• Mistä tiesit, mitä laskua tarvitaan?
• Voisitko näyttää tämän jollakin esineillä?
• Onko olemassa toinen tapa ratkaista sama tehtävä?
• Mikä tässä oli helppoa ja mikä vaikeaa?
• Mitä huomasit virheestäsi?

Matematiikkaa voi tuoda arkeen myös ilman erillisiä tehtäväkirjoja. Sitä löytyy ruoanlaitosta, rahasta, kellonajoista, rakentelusta, peleistä, matkoista ja tavaroiden jakamisesta.

Tärkeintä ei ole tehdä jokaisesta arjen hetkestä oppituntia. Tärkeämpää on antaa lapsen ihmetellä, kokeilla ja selittää.

Mitä tehdä, jos läksyt päättyvät aina riitaan?

Jos matematiikan läksyt vievät jatkuvasti kohtuuttomasti aikaa, aiheuttavat itkua tai lapsi tarvitsee jokaiseen tehtävään aikuisen apua, ongelma ei välttämättä ole asenteessa.

Lapsi voi olla turhautunut siksi, että tehtävät rakentuvat sellaisen aikaisemman taidon varaan, jota hän ei vielä ymmärrä riittävän hyvin. Silloin hänelle ei kannata vain vakuuttaa, että kyllä sinä osaat.

Ensin pitäisi selvittää, missä kohdassa ymmärtäminen alkaa horjua.

Joskus pieni muutos selitystavassa riittää. Joskus täytyy palata paljon aikaisempaan asiaan ja rakentaa ymmärrystä rauhassa uudelleen. Kun puuttuva kohta löytyy, myös lapsen asenne voi muuttua. Matematiikka ei enää tunnukaan mahdottomalta, kun tehtävissä alkaa olla järkeä.

Tärkein viesti lapselle

Jos minun pitäisi valita yksi asia, jonka haluaisin jokaisen lapsen kuulevan, se olisi tämä:

Se, ettet osaa jotakin nyt, ei tarkoita, ettet voisi oppia sitä.

Lapsi tarvitsee ympärilleen aikuisia, jotka uskovat hänen mahdollisuuksiinsa mutta eivät vähättele hänen vaikeuksiaan.

Jos tehtävä on vaikea, se saa tuntua vaikealta. Jos perusteissa on puutteita, ne täytyy löytää ja niitä täytyy harjoitella. Lapsen ei tarvitse teeskennellä osaavansa eikä selvitä yksin.

Toivo ei synny tyhjistä kannustuslauseista. Se syntyy myös kokemuksista: minä harjoittelin, ymmärsin jotakin uutta ja pystyin tähän.

Jos lapsesi harjoittelee paljon mutta matematiikka ei ala avautua, voimme yhdessä selvittää, mistä hänen kanssaan kannattaa aloittaa.

Kysy minulta vapaata asiakaspaikkaa.

Lähteet

Maloney ym. 2015: vanhempien matematiikka-ahdistuksen yhteys lapsen oppimiseen

Berkowitz ym. 2015: kodin matematiikkatoiminnan yhteys oppimiseen

Yeager ym. 2019: kasvun ajattelutavan vaikutukset

Ramirez ym. 2016: matematiikka-ahdistus ja laskustrategiat

Asiaa ei kannata aloittaa säännöistä ja laskumerkeistä. Ensin lapsen pitäisi ymmärtää, mitä negatiivinen luku tarkoittaa ja missä sellaisia lukuja tarvitaan.

Tähän yksi parhaista välineistä on aivan tavallinen lämpömittari – mieluiten sellainen vanhanaikainen, josta lämpötila näkyy asteikkona. Digitaalinen mittari kertoo vastauksen, mutta asteikollinen lämpömittari näyttää myös lukujen väliset suhteet.

Miksi negatiiviset luvut ovat vaikeita?

Lapsi tutustuu ensimmäiseksi luonnollisiin lukuihin. Hän laskee leluja, portaita, karkkeja ja ihmisiä. Nämä määrät alkavat nollasta ja kasvavat siitä ylöspäin.

Viisi karkkia on enemmän kuin kolme karkkia. Kahdeksan on suurempi kuin neljä. Mitä suurempi luku, sitä enemmän jotakin on.

Sitten matematiikkaan ilmestyvät negatiiviset luvut. Yhtäkkiä −8 onkin pienempi kuin −4. Pelkkä aikaisemmin opittu ajatus numeroiden suuruudesta ei enää riitä.

Tämä ei tarkoita, ettei lapsi osaisi matematiikkaa. Hänen täytyy vain laajentaa käsitystään luvuista. Nolla ei olekaan enää lukujen päätepiste, vaan sen toisella puolella luvut jatkuvat negatiivisina.

Tutkimuksissakin on havaittu, että negatiivisten lukujen ymmärtämiseen liittyy oppilailla monenlaisia virhekäsityksiä. Siksi niitä kannattaa käsitellä konkreettisten tilanteiden ja lukusuoran avulla ennen kuin siirrytään pelkkiin laskusääntöihin.

Tavallinen lämpömittari toimii pystysuorana lukusuorana

Asteikollinen lämpömittari on käytännössä pystysuora lukusuora.

Nolla on keskellä. Positiiviset lämpötilat ovat nollan yläpuolella ja negatiiviset lämpötilat sen alapuolella. Kun lämpötila nousee, asteikolla liikutaan ylöspäin. Kun lämpötila laskee, liikutaan alaspäin.

Tässä ei tarvitse opetella ulkoa, että −2 on suurempi kuin −7. Lapsi voi nähdä sen mittarista. −2 on asteikolla ylempänä ja lähempänä nollaa.

Kannattaa hankkia asteikollinen ulkolämpömittari ja sijoittaa se paikkaan, josta lapsi voi tarkistaa lämpötilan. Turvallinen, nykyisin myytävä nestelämpömittari sopii tähän hyvin. Vanhaa elohopeamittaria en tietenkään tarkoita.

Lämpömittarista ei tarvitse tehdä erillistä oppituntia. Sitä voidaan vilkaista silloin tällöin ulos lähtiessä.

Aloittakaa lämpötilan seuraamisesta

Ensimmäiseksi lapselta voi kysyä:

• Kuinka monta astetta nyt on?
• Onko lämpötila nollan ylä- vai alapuolella?
• Onko ulkona pakkasta vai lämpöasteita?
• Onko lämpötila lähempänä nollaa vai kymmentä pakkasastetta?
• Onko tänään lämpimämpää vai kylmempää kuin eilen?

Aluksi riittää, että lapsi oppii lukemaan mittaria ja yhdistämään lukeman omaan kokemukseensa.

Jos ulkona on −10 astetta, miltä ilma tuntuu? Entä jos lämpötila on +5 astetta? Millaiset vaatteet silloin tarvitaan?

Kun luvulla on yhteys todelliseen kokemukseen, se ei ole enää vain irrallinen merkki tehtäväkirjassa.

Kumpi on suurempi: −3 vai −8?

Negatiivisia lukuja vertailtaessa lapsi katsoo helposti vain numeroita ja päättelee, että −8 on suurempi kuin −3. Onhan kahdeksan suurempi kuin kolme.

Lämpömittarista lapsi voi kuitenkin nähdä, että −3 astetta on lämpimämpi kuin −8 astetta. −3 sijaitsee asteikolla ylempänä ja lähempänä nollaa.

Vasta sen jälkeen asia kannattaa yhdistää matemaattiseen merkintään:

−3 > −8

Tätä voidaan kokeilla useilla lukupareilla:

• Kumpi on lämpimämpi, −2 vai −6 astetta?
• Kumpi on kylmempi, −4 vai +1 astetta?
• Mikä lämpötila on lähimpänä nollaa?
• Mikä näistä luvuista on suurin?
• Mikä on pienin?

Lapsen kannattaa aina näyttää vastaus ensin lämpömittarista tai lukusuoralta. Pelkkää sääntöä ei tarvitse yrittää muistaa, jos asian voi päätellä.

Lämpötilan muutos auttaa ymmärtämään laskemista

Kun lämpömittarin asteikko on tullut tutuksi, sen avulla voidaan harjoitella myös yhteen- ja vähennyslaskua.

Jos aamulla on −4 astetta ja lämpötila nousee kolme astetta, mihin päädytään?

Aloitetaan kohdasta −4 ja liikutaan kolme askelta ylöspäin:

−3, −2, −1.

Lopputulos on −1 astetta.

Jos lämpötila laskee kaksi astetta, liikutaan asteikolla kaksi askelta alaspäin.

Esimerkiksi:

+1 − 2 = −1

Tässä tapahtuu tärkeä asia: lapsi kulkee nollan yli. Hän näkee, että lukujono ei pysähdy nollaan.

Tehtäviä voi keksiä yhdessä:

• Lämpötila on −2 astetta ja nousee viisi astetta. Mikä lämpötila tulee?
• Lämpötila on +3 astetta ja laskee kuusi astetta. Mihin päädytään?
• Aamulla on −7 astetta ja päivällä −2 astetta. Kuinka monta astetta lämpötila nousi?
• Eilen oli +2 astetta ja tänään −3 astetta. Kuinka paljon kylmempää tänään on?

Lapsen ei tarvitse ratkaista näitä päässä. Hän saa seurata asteikkoa sormella, käyttää omaa piirrettyä lukusuoraa tai siirtää pientä merkkiä lukujen kohdalla.

Piirtäkää oma lämpömittari tai lukusuora

Jos oikeaa lämpömittaria ei ole, sellaisen voi piirtää paperille.

Merkitkää keskelle nolla ja kirjoittakaa luvut sekä ylöspäin että alaspäin. Lukujen välimatkojen pitää olla yhtä suuret. Tällä on merkitystä, koska silloin lapsi näkee, kuinka kaukana luvut ovat toisistaan.

Lämpömittarin rinnalle kannattaa myöhemmin tehdä vaakasuora lukusuora. Siinä pienemmät luvut ovat vasemmalla ja suuremmat oikealla.

Näin lapsi huomaa, että sama lukujärjestys voidaan esittää kahdella tavalla:

• lämpömittarissa liikutaan ylös ja alas
• tavallisella lukusuoralla liikutaan oikealle ja vasemmalle.

Lämpömittarissa nouseminen vastaa lukusuoralla oikealle siirtymistä. Molemmissa tapauksissa luku suurenee.

Älkää kiirehtikö laskusääntöihin

Negatiivisten lukujen laskusäännöt voivat muuttua lapselle helposti merkityksettömiksi hokemiksi.

Miinus ja miinus muuttuu plussaksi.

Tällainen sääntö voi auttaa muistamaan jonkin laskutoimituksen, mutta se ei vielä kerro, ymmärtääkö lapsi, mitä laskussa tapahtuu. Sääntö voi myös sekoittaa asioita, koska miinusmerkki voi tarkoittaa negatiivista lukua tai vähennyslaskua.

Ensin kannattaa varmistaa, että lapsi osaa:

• sijoittaa negatiivisen luvun lukusuoralle
• verrata positiivisia ja negatiivisia lukuja
• tunnistaa, kumpi kahdesta negatiivisesta luvusta on suurempi
• liikkua lukusuoralla nollan yli
• kuvata omin sanoin, mitä lämpötilan nouseminen ja laskeminen tarkoittavat.

Kun nämä asiat ovat kunnossa, laskusäännöille on olemassa ymmärrettävä perusta.

Lämpömittari ei ole ainoa mahdollinen malli

Negatiivisia lukuja voi havainnollistaa myös esimerkiksi kerroksilla ja rahalla.

Hississä pohjakerroksen alapuolella voivat olla kerrokset −1 ja −2. Tilillä oleva velka voidaan kuvata negatiivisena lukuna. Peleissä pisteitä voidaan menettää niin paljon, että tulos menee miinukselle.

Kaikissa malleissa on kuitenkin omat rajansa. Velka ei havainnollista kaikkea samalla tavalla kuin lämpötila, eikä hissillä yleensä kuljeta kovin moneen miinuskerrokseen.

Siksi käyttäisin ensin yhtä selkeää mallia ja yhdistäisin siihen myöhemmin muita esimerkkejä. Lämpömittari toimii hyvin, koska siinä nolla sekä positiiviset ja negatiiviset luvut näkyvät samanaikaisesti.

Ymmärtäminen ennen ulkoa muistamista

Kun lapsella on vaikeuksia negatiivisten lukujen kanssa, ensimmäinen ratkaisu ei ole lisätä samanlaisten laskujen määrää.

Pysähtyisin ensin selvittämään, ymmärtääkö lapsi, mitä negatiivinen luku tarkoittaa. Osaako hän sijoittaa sen lukusuoralle? Näkeekö hän, kumpi luvuista on suurempi? Ymmärtääkö hän, mihin suuntaan lukuarvo kasvaa?

Jos tämä perusta puuttuu, laskusäännöt menevät helposti sekaisin. Kun luvut alkavat hahmottua paikkoina lukusuoralla, myös laskutoimitukset muuttuvat ymmärrettävämmiksi.

Jos lapsesi harjoittelee paljon mutta matematiikan asiat eivät tunnu avautuvan, voimme yhdessä selvittää, missä kohdassa ymmärtäminen alkaa horjua.

Kysy minulta vapaata asiakaspaikkaa.

Lähteet

Bofferding 2014: Learning Negative Integer Concepts

Fuadiah, Suryadi & Turmudi 2019: Teaching and Learning Activities on Negative Integers

Palapelit ja matemaattinen ajattelu liittyvät läheisesti yhteen, sillä palapeliä rakentaessaan lapsi tutkii muotoja, suuntia, sijainteja ja osien välisiä suhteita.

Palapeliä tehdessään lapsi ei vain etsi oikeaa kuvaa. Hän tutkii muotoja, suuntia, kokoja ja osien välisiä suhteita. Hän yrittää päätellä, mihin pala voisi sopia, kokeilee ratkaisua ja muuttaa suunnitelmaansa, jos ensimmäinen yritys ei onnistukaan.

Kaikki tämä on matemaattista ajattelua.

Palapeli ei tietenkään yksin opeta lasta laskemaan eikä ratkaise matematiikan oppimisvaikeuksia. Se on kuitenkin hyvä ja helposti saatavilla oleva väline avaruudellisen hahmottamisen, ongelmanratkaisun ja pitkäjänteisen työskentelyn harjoittelemiseen.

Miten palapelit kehittävät matemaattista ajattelua ja hahmottamista?

Avaruudellisella hahmottamisella tarkoitetaan kykyä havaita muotoja, sijainteja, suuntia ja esineiden välisiä suhteita.

Palapeliä tehdessään lapsen täytyy huomata esimerkiksi:

• onko pala oikein vai väärin päin
• sopiiko pala kulmaan, reunaan vai keskelle
• jatkuuko kuvan väri tai viiva viereisessä palassa
• pitääkö palaa kääntää
• millainen pala tyhjään kohtaan tarvitaan
• miten pieni osa liittyy suurempaan kokonaisuuteen.

Lapsi joutuu usein kuvittelemaan mielessään, miltä pala näyttäisi toisessa asennossa. Tätä kutsutaan mielessä kääntämiseksi eli mentaaliseksi rotaatioksi. Samaa taitoa tarvitaan myöhemmin esimerkiksi geometriassa, kuvioiden hahmottamisessa, karttojen lukemisessa ja kolmiulotteisten kappaleiden ymmärtämisessä.

Tutkimuksissa varhainen palapelien tekeminen on ollut yhteydessä lasten myöhempiin avaruudellisen hahmottamisen taitoihin. Yhteys ei tarkoita, että palapelit yksin tekisivät lapsesta taitavan matematiikassa. Ne tarjoavat kuitenkin luontevan mahdollisuuden harjoitella taitoja, joilla on merkitystä myös matemaattisessa ajattelussa.

Lapsi harjoittelee kokonaisuuden ja osien välistä suhdetta

Palapelissä jokainen pala on vain pieni osa kokonaisuutta. Yksittäisestä palasta voi olla vaikea nähdä, mitä se esittää. Vasta kun pala yhdistyy muihin, kuva alkaa muodostua.

Tämä osan ja kokonaisuuden välinen suhde on matematiikassa tärkeä.

Samaa ajattelua tarvitaan myöhemmin esimerkiksi murtoluvuissa. Lapsen täytyy ymmärtää, että yksi osa kuuluu johonkin kokonaisuuteen ja että osan koko riippuu siitä, millaisiin osiin kokonaisuus on jaettu.

Palapelissä tätä ei tarvitse vielä selittää murtolukuina. Lapsi saa konkreettisen kokemuksen siitä, kuinka useista erillisistä osista muodostuu yksi kokonainen kuva.

Palapeli opettaa suunnittelemaan

Pieni lapsi saattaa aloittaa palapelin kokeilemalla jokaista palaa jokaiseen tyhjään kohtaan. Se on aivan hyvä tapa aloittaa.

Kokemuksen karttuessa lapsi alkaa yleensä kehittää toimivampia strategioita. Hän voi etsiä ensin kulmapalat, rakentaa reunat tai kerätä yhteen samanvärisiä paloja. Hän ei enää kokeile täysin sattumanvaraisesti, vaan alkaa suunnitella toimintaansa.

Tässä tapahtuu tärkeää oppimista.

Lapsi huomaa, että tehtävää voi lähestyä eri tavoilla. Hän voi pysähtyä, tarkastella tilannetta ja valita strategian. Jos valittu tapa ei auta, sitä voidaan muuttaa.

Samaa tarvitaan matematiikan tehtävissä. Kaikki laskut eivät ratkea yhdellä ulkoa opitulla keinolla. Taitava oppija osaa tarkastella tehtävää, valita sopivan strategian ja vaihtaa sitä tarvittaessa.

Virhe ei ole epäonnistuminen vaan tieto

Palapeli antaa lapselle välittömän palautteen. Pala joko sopii paikalleen tai ei sovi.

Väärä yritys ei riko palapeliä eikä tarkoita, ettei lapsi osaa. Se kertoo vain, että tätä vaihtoehtoa pitää vielä tutkia.

Tämä on hyvä tapa harjoitella myös matematiikassa tarvittavaa suhtautumista virheisiin. Ensimmäisen ratkaisun ei tarvitse olla oikea. Voi kokeilla, huomata virheen ja yrittää uudelleen.

Aikuinen voi auttaa lasta sanoittamaan tätä:

Se ei sopinut siihen. Mitä siitä voidaan päätellä?

Millainen pala tähän tarvittaisiin?

Voisiko sitä kokeilla toisin päin?

Huomasit itse, ettei tämä ollut oikea paikka. Mitä kokeilet seuraavaksi?

Tavoitteena ei ole vain saada palapeliä nopeasti valmiiksi. Tärkeää on huomata, miten lapsi ajattelee ja millaisia ratkaisuja hän keksii.

Palapeli harjoittaa myös pitkäjänteisyyttä

Kaikki palat eivät löydä paikkaansa heti. Palapelin tekeminen vaatii tarkkaavaisuutta, kokeilemista ja keskeneräisyyden sietämistä.

Sopivan haastava palapeli tarjoaa lapselle mahdollisuuden kokea, että vaikeakin tehtävä etenee pala kerrallaan. Ratkaisua ei tarvitse nähdä heti kokonaan.

Jos palapeli on liian helppo, lapsi ei joudu juuri suunnittelemaan. Jos se on liian vaikea, tekeminen voi muuttua arvailuksi ja turhautumiseksi.

Sopiva palapeli on sellainen, jonka tekeminen vaatii lapselta ajattelua mutta onnistuu pienellä tuella. Lapsen pitäisi saada tehdä suurin osa työstä itse.

Miten valitaan lapselle sopiva palapeli?

Palapelin sopivuus ei riipu vain palojen määrästä. Myös kuvan ja palojen ominaisuudet vaikuttavat vaikeuteen.

Palapeli on yleensä helpompi, kun:

• paloja on vähän
• palat ovat suuria ja selvästi erimuotoisia
• kuvassa on selkeitä värejä ja helposti tunnistettavia kohteita
• palapelissä on valmis kehys
• lapsi näkee mallikuvan
• jokaisessa palassa on helposti tunnistettava osa kuvasta.

Palapeli muuttuu vaikeammaksi, kun:

• paloja on paljon
• palat muistuttavat toisiaan
• kuvassa on suuria samanvärisiä alueita
• pala täytyy tunnistaa lähinnä muodon perusteella
• mallikuvaa ei ole näkyvissä
• kokonaisuus täytyy rakentaa ilman valmista kehystä.

Palapelin aiheella on myös merkitystä. Lapsi jaksaa yleensä tutkia pidempään kuvaa, joka kiinnostaa häntä.

Palojen määrä ei ole mikään ikätasoa mittaava koe. Jos lapsi ei saa tietyn kokoista palapeliä valmiiksi, se ei tarkoita, että hänen pitäisi vain yrittää kovemmin. Palapelin ominaisuuksia ja lapsen tarvitsemaa tukea kannattaa tarkastella tarkemmin.

Miten aikuinen voi auttaa tekemättä palapeliä lapsen puolesta?

Aikuisen on joskus vaikea katsoa vierestä, kun oikea pala on aivan lapsen käden vieressä. Tekisi mieli näyttää heti, mihin se kuuluu.

Jos aikuinen ratkaisee vaikeat kohdat, lapsi saa palapelin valmiiksi mutta menettää suuren osan ajattelutyöstä.

Suoran vastauksen sijaan voi antaa pienen vihjeen:

Etsitkö nyt reunapalaa vai keskelle tulevaa palaa?

Mitä värejä tässä kohdassa näkyy?

Katso tyhjää kohtaa. Millainen muoto siihen voisi sopia?

Voisiko palaa kääntää?

Löytyisikö kuvasta jotakin, minkä tunnistat?

Jos lapsi ei pääse eteenpäin, tehtävää voidaan helpottaa lajittelemalla palat yhdessä. Voitte kerätä yhteen reunapalat, samanväriset palat tai tiettyyn kuvan kohtaan kuuluvat palat.

Auttamisen tarkoitus on saada lapsen oma ajattelu uudelleen liikkeelle, ei tehdä tehtävää hänen puolestaan.

Puhu sijainnista, suunnista ja muodoista

Palapelin tekemisen aikana syntyy luontevasti paljon matemaattista kieltä.

Voitte käyttää esimerkiksi sanoja:

• ylhäällä ja alhaalla
• vieressä ja välissä
• oikealla ja vasemmalla
• kulmassa ja keskellä
• pystyssä ja vaakasuorassa
• suora ja kaareva
• suurempi ja pienempi
• samanlainen ja erilainen.

Näiden käsitteiden ymmärtäminen auttaa lasta sekä matematiikassa että tavallisten ohjeiden seuraamisessa.

Sanoja ei tarvitse tentata. Niitä käytetään yhteisen tekemisen lomassa:

Tuossa palassa on suora reuna. Voisiko se tulla palapelin reunaan?

Puuttuuko tämä kohta kuvan ylä- vai alaosasta?

Pitäisikö palaa kääntää oikealle vai vasemmalle?

Näin lapsi yhdistää käsitteet siihen, mitä hän näkee ja tekee.

Myös erilaiset palapelit ovat hyödyllisiä

Perinteisen kuvapalapelin lisäksi voi käyttää esimerkiksi:

• muotopalapelejä
• kerrospalapelejä
• kuutioista rakennettavia kuvia
• tangramtehtäviä
• mosaiikkeja
• kuvioiden täydentämistä
• rakentelutehtäviä, joissa malli pitää jäljentää.

Erilaiset tehtävät harjoittavat hieman eri asioita. Kuvapalapelissä hyödynnetään paljon kuvan yksityiskohtia, kun taas tangramissa ja muotopalapeleissä huomio kohdistuu erityisesti muotoihin, suuntiin ja osien yhdistämiseen.

Välillä kannattaa tehdä palapeli myös ilman mallikuvaa. Silloin tehtävä vaikeutuu, koska lapsi ei voi verrata jokaista palaa valmiiseen kokonaisuuteen.

Palapelit ja matemaattinen ajattelu kertovat lapsen tavasta hahmottaa

Kun teen lapsen kanssa tehtäviä, en seuraa vain sitä, valmistuuko tehtävä. Katson myös, miten lapsi aloittaa, mihin hän kiinnittää huomiota ja mitä hän tekee silloin, kun ensimmäinen yritys ei onnistu.

Palapeli voi antaa paljon tietoa lapsen tavasta hahmottaa:

• tunnistaako hän samanlaisia muotoja
• huomaako hän kappaleiden suunnan
• osaako hän käyttää mallikuvaa
• pystyykö hän suunnittelemaan etenemistään
• vaihtaako hän strategiaa
• jaksaako hän tutkia vaihtoehtoja
• ymmärtääkö hän sijaintia ja suuntaa kuvaavia käsitteitä.

Yksi vaikea palapeli ei kerro oppimisvaikeudesta. Jos lapsella on kuitenkin toistuvasti haasteita muotojen, suuntien, sijaintien tai kokonaisuuksien hahmottamisessa ja samat vaikeudet näkyvät myös matematiikassa, asiaa kannattaa tarkastella laajemmin.

Palapeli on yksi hyvä harjoitteluväline muiden joukossa. Parhaimmillaan siinä yhdistyvät leikki, ongelmanratkaisu, oivaltaminen ja yhdessä tekeminen.

Palapelit kehittävät matemaattista ajattelua parhaiten silloin, kun tehtävä on lapselle sopivan haastava ja hän saa itse kokeilla erilaisia ratkaisuja.

Jos lapsesi matematiikan oppiminen tai matemaattisten valmiuksien kehittyminen herättää huolta, voimme yhdessä selvittää, mistä hänen kanssaan kannattaa aloittaa.

Kysy minulta vapaata asiakaspaikkaa.

Lähteet

Levine ym. 2012: Early Puzzle Play – A Predictor of Preschoolers’ Spatial Transformation Skill

Vander Heyden ym. 2017: Effects of a Classroom Intervention with Spatial Play Materials

Verdine ym. 2017: Spatial Skills, Their Development, and Their Links to Mathematics

Jos oppilas tarvitsee apua yhteen rajattuun asiaan tai seuraavan päivän läksyihin, taitava opiskelija tai muu matematiikkaa hyvin osaava henkilö voi olla oikein hyvä apu. Jos vaikeudet ovat jatkuneet pitkään ja samat asiat jäävät harjoittelusta huolimatta epäselviksi, tarvitaan usein muutakin kuin lisää samanlaisia tehtäviä.

Silloin pitää selvittää, mistä vaikeudet oikeastaan alkavat.

Mitä matematiikan yksityisopetuksen hinta sisältää?

Yksityisopetuksessa ei makseta vain siitä ajasta, jonka opettaja ja oppilas istuvat saman pöydän ääressä. Tapaamisen aikana tarkkailen jatkuvasti, miten oppija ajattelee, mitä hän jo ymmärtää ja missä kohdassa ajattelu alkaa horjua.

Oikea vastaus ei vielä kerro, että asia on ymmärretty. Väärä vastauskaan ei kerro, ettei oppija osaisi. Minua kiinnostaa ennen kaikkea se, miten vastaukseen on päädytty.

Pyydän oppijaa näyttämään, piirtämään, rakentamaan tai kertomaan, mitä hän ajattelee. Käytän opetuksessa esimerkiksi helminauhoja, lukusuoraa, pistekortteja, pelejä ja erilaisia esineitä. Sama matemaattinen asia voidaan käsitellä monella tavalla, kunnes löytyy tapa, jolla se alkaa avautua.

Tapaamisen jälkeen mietin myös, mitä seuraavalla kerralla kannattaa tehdä. Opetus ei siis perustu valmiin tehtäväkirjan läpikäymiseen, vaan jokainen tunti rakentuu oppijan tarpeiden ja edellisen tapaamisen havaintojen pohjalta.

Milloin tavallinen läksyapu riittää?

Kaikki matematiikan vaikeudet eivät vaadi erityispedagogista asiantuntemusta.

Jos oppilas on ollut sairaana, jokin yksittäinen asia on jäänyt epäselväksi tai kokeeseen valmistautuminen tarvitsee hieman tukea, tavallinen läksyapu voi riittää oikein hyvin. Tällöin tärkeintä on löytää henkilö, joka hallitsee opeteltavan asian ja osaa selittää sen rauhallisesti.

Tilanne on toinen, jos vaikeudet ovat jatkuneet pitkään. Oppilas saattaa laskea edelleen kaiken sormilla, sekoittaa laskutoimitukset, unohtaa juuri harjoitellut asiat tai opetella laskusääntöjä ymmärtämättä, miksi ne toimivat. Matematiikka voi myös aiheuttaa voimakasta epävarmuutta, vastustusta tai pelkoa.

Silloin uuden asian harjoitteleminen ei välttämättä auta, jos sen alla olevat perustaidot ovat epävarmoja.

Miksi aloitamme perusteista?

Matematiikan taidot rakentuvat kerroksittain. Uusi asia tarvitsee aina tuekseen aikaisemmin opittuja taitoja.

Jos lukumäärien väliset suhteet eivät ole vielä selviä, yhteen- ja vähennyslaskut kuormittavat tarpeettoman paljon. Jos kymmenjärjestelmää ei ymmärrä, myös allekkainlaskut ja desimaaliluvut jäävät helposti irrallisiksi säännöiksi. Murtoluvut, prosentit ja verrannot puolestaan rakentuvat monien aikaisemmin opittujen asioiden varaan.

Vanhempaa oppilasta tai aikuista voi ensin ihmetyttää, miksi palaamme helpon tuntuisiin asioihin. Tarkoituksena ei ole tehdä alkeistehtäviä niiden itsensä vuoksi. Etsimme kohtaa, josta ymmärtämistä voidaan lähteä rakentamaan eteenpäin.

Kun oikea kohta löytyy, eteneminen voi olla yllättävänkin nopeaa.

Miksi suosittelen neljää tapaamista?

Suosittelen uudelle asiakkaalle aluksi neljää tapaamista. Yksi tunti kertoo jo jotakin, mutta sen perusteella en vielä halua tehdä pitkälle meneviä päätelmiä oppijan osaamisesta tai tuen tarpeesta.

Ensimmäisillä kerroilla tutustumme, teemme erilaisia tehtäviä ja kokeilemme työskentelytapoja. Samalla näen, miten oppija toimii silloin, kun tehtävä on helppo, sopivan haastava tai liian vaikea.

Neljässä tapaamisessa ehdimme yleensä saada jo melko hyvän kuvan siitä:

• mitkä taidot ovat vahvoja
• mitkä perustaidot tarvitsevat vahvistamista
• millaiset työskentelytavat auttavat oppijaa
• miten opetuksessa kannattaa edetä
• onko säännöllisestä yksilöllisestä opetuksesta todennäköisesti hyötyä.

Neljän tapaamisen jälkeen kerron havainnoistani ja siitä, mitä suosittelen jatkossa. Lapsen kohdalla käyn tilanteen läpi myös vanhemman kanssa.

Neljä tapaamista ei sido jatkamaan opetusta.

Mitä Oppidoon matematiikan yksityisopetus maksaa?

Oppidoon matematiikan yksityisopetus maksaa tällä hetkellä 120 euroa / 60 minuuttia. Neljä suosittelemaani aloitustapaamista maksaa yhteensä 480 euroa.

Pienelle lapselle 60 minuuttia voi joskus olla liian pitkä aika. Silloin voimme sopia 45 minuutin tapaamisesta.

Opetus tapahtuu pääsääntöisesti kerran viikossa. Säännöllisyys on tärkeää, koska uudet taidot tarvitsevat aikaa, harjoittelua ja toistoa. Loma-aikoina voidaan pitää taukoa.

Onko yksityisopetus hintansa arvoista?

Tähän ei ole yhtä vastausta, joka sopisi kaikille.

Yksityisopetus ei ole tarpeen, jos lapsi saa koulusta tarvitsemansa tuen ja oppiminen etenee. Se ei myöskään ole nopea ratkaisu, jolla vuosien aikana syntyneet vaikeudet katoavat muutamassa tunnissa.

Siitä voi kuitenkin olla paljon hyötyä silloin, kun oppija tarvitsee aikaa, rauhaa ja juuri hänen ajatteluunsa kohdistuvaa opetusta. Yksilöllisessä opetuksessa voimme pysähtyä siihen kohtaan, joka ei vielä avaudu. Voimme kokeilla toista tapaa ja palata taaksepäin ilman kiirettä pysyä muun ryhmän tahdissa.

Tavoitteena ei ole ainoastaan saada seuraavasta kokeesta parempaa arvosanaa. Tavoitteena on, että oppija ymmärtää matematiikkaa paremmin, löytää toimivia tapoja ratkaista tehtäviä ja uskaltaa jälleen yrittää.

Siksi matematiikan yksityisopetuksen hintaa kannattaa verrata ennen kaikkea siihen, millaista opetusta ja asiantuntemusta oppija tarvitsee.

Voisiko Oppidoo sopia sinulle tai lapsellesi?

Oppidoon opetus sopii erityisesti lapsille, nuorille ja aikuisille, joilla matematiikan vaikeudet ovat jatkuneet pitkään tai joiden perustaitoihin on jäänyt epävarmuutta.

Ennen aloittamista voimme keskustella tilanteesta ja siitä, millaista apua etsit. Kerron myös rehellisesti, jos vaikuttaa siltä, ettei tarjoamani opetus ole tilanteeseen sopiva ratkaisu.

Jäävätkö samat matematiikan asiat harjoittelusta huolimatta epäselviksi? Kysy vapaata asiakaspaikkaa. Yhteydenotto ei sido mihinkään.

Minun vastaukseni on selvä: sormilla laskemista ei ole syytä automaattisesti kieltää.

Sormet ovat lapsen ensimmäinen matematiikan väline. Ne ovat aina mukana, niitä on kymmenen ja niiden avulla lukumäärät voidaan nähdä ja tuntea. Sormilla laskeminen ei siis ole huono tapa eikä sellaisenaan merkki matematiikan oppimisvaikeudesta.

Olennaisempaa on seurata, miten lapsi käyttää sormiaan ja kehittyvätkö hänen laskustrategiansa vähitellen.

Miksi lapsi laskee sormilla?

Pieni lapsi oppii usein ensin lukusanat loruna: yksi, kaksi, kolme, neljä ja niin edelleen. Lukujen luetteleminen ei vielä tarkoita, että lapsi ymmärtää lukumäärän.

Sormet auttavat yhdistämään lukusanan, näkyvän määrän ja oman kehon kokemuksen. Kun lapsi nostaa kolme sormea, hän voi yhtä aikaa kuulla sanan kolme, nähdä kolme sormea ja tuntea niiden liikkeen.

Tämä tekee muuten melko abstraktista luvusta konkreettisen.

Sormet auttavat myös huomaamaan lukujen rakenteita. Yhdessä kädessä on viisi sormea ja kahdessa kädessä kymmenen. Seitsemän voidaan nähdä viitenä ja kahtena. Kahdeksan on kaksi vähemmän kuin kymmenen. Nämä havainnot rakentavat myöhempää päässälaskutaitoa.

Tutkimuksissa sormien tuntemisen ja varhaisten matemaattisten taitojen välillä on havaittu yhteyksiä. Sormien käyttäminen voi tukea lukumäärien hahmottamista, laskemista ja ensimmäisten yhteen- ja vähennyslaskujen oppimista.

Sormilla laskeminen ei ole oppimisvaikeuden merkki

Lapsi voi käyttää sormiaan ja olla samalla matemaattisesti taitava. Itse asiassa sormet voivat olla hyvin järkevä laskustrategia silloin, kun lapsi vasta rakentaa käsitystään luvuista ja laskutoimituksista.

Huolestuttavampaa olisi, jos lapsi ei saisi käyttää mitään apuvälineitä mutta ei myöskään ymmärtäisi, mitä laskussa tapahtuu. Sormien piilottaminen pöydän alle ei tee laskemisesta kehittyneempää. Se tekee käytössä olevasta strategiasta vain vaikeamman nähdä.

Jos lapsi häpeää sormien käyttämistä, hän voi alkaa keskittyä niiden piilottamiseen itse laskemisen sijasta. Silloin energiaa kuluu aivan väärään asiaan.

Siksi en kiellä sormilla laskemista. Katson mieluummin tarkasti, millä tavalla lapsi niitä käyttää.

Kaikki sormilla laskeminen ei ole samanlaista

Ajatellaan laskua 3 + 4.

Lapsi voi ensin nostaa kolme sormea ja laskea ne yksitellen: yksi, kaksi, kolme. Sen jälkeen hän nostaa neljä sormea ja laskee taas: yksi, kaksi, kolme, neljä. Lopuksi hän laskee kaikki seitsemän sormea uudelleen alusta.

Vastaus tulee oikein, mutta työvaiheita on paljon. Jokainen uusi laskeminen lisää myös erehtymisen mahdollisuutta.

Kehittyneemmässä strategiassa lapsi tunnistaa kolme sormea laskematta niitä yksitellen. Hän pitää luvun kolme mielessään ja jatkaa siitä: neljä, viisi, kuusi, seitsemän.

Vielä myöhemmin lapsi voi nähdä, että 3 + 4 on sama kuin tuttu yhdistelmä 4 + 3 tai että luvut muodostavat yhdessä seitsemän. Vähitellen vastaus palautuu mieleen ilman sormien nostamista.

Tavoitteena ei siis ole ottaa sormia pois. Tavoitteena on auttaa lasta kehittämään niiden avulla parempia laskustrategioita.

Milloin sormilla laskemiseen kannattaa kiinnittää huomiota?

Sormilla laskeminen kuuluu tavalliseen matematiikan oppimiseen erityisesti varhaislapsuudessa ja ensimmäisinä kouluvuosina. Yksittäinen ikäraja ei kuitenkaan kerro, milloin sormista pitäisi luopua.

Tilannetta kannattaa tarkastella tarkemmin, jos:

• lapsi laskee pienetkin lukumäärät aina yksitellen
• jokainen lasku alkaa uudelleen luvusta yksi
• lapsi ei tunnista esimerkiksi kahta, kolmea tai neljää sormea ilman laskemista
• yksinkertaiset yhteen- ja vähennyslaskut eivät ala sujuvoitua harjoittelusta huolimatta
• laskeminen on hyvin hidasta ja virheitä tulee paljon
• lapsi unohtaa helposti, mitä oli laskemassa
• suurempiin lukuihin siirtyminen ei onnistu, koska sormet loppuvat kesken
• lapsi välttelee matematiikkaa tai pitää itseään huonona laskijana.

Silloinkaan ongelma ei ole sormien käyttäminen. Sormilla laskeminen voi tehdä näkyväksi sen, että lukumäärien hahmottaminen, lukujonotaidot tai pienet laskustrategiat tarvitsevat vielä vahvistamista.

Näin voit auttaa lasta kotona

Älä pyydä lasta vain laskemaan nopeammin. Tutkikaa sen sijaan yhdessä, miten luvut rakentuvat.

Voitte harjoitella esimerkiksi näin:

• Näytä nopeasti kaksi, kolme tai neljä sormea ja kysy, kuinka monta niitä on. Tarkoitus on tunnistaa määrä ilman yksitellen laskemista.
• Näytä viisi sormea ja sulje niistä osa. Kysy, kuinka monta jäi näkyviin ja kuinka monta meni piiloon.
• Muodostakaa sama luku eri tavoilla. Esimerkiksi seitsemän voi olla viisi ja kaksi, neljä ja kolme tai kuusi ja yksi.
• Harjoitelkaa jatkamaan lukujonoa annetusta luvusta. Aloittakaa esimerkiksi neljästä: neljä, viisi, kuusi, seitsemän.
• Verratkaa määriä. Kummassa kädessä on enemmän sormia? Kuinka monta enemmän?
• Käyttäkää sormien rinnalla helmiä, pistekortteja, noppia ja muita välineitä.

Tärkeää on kysyä välillä: ”Miten ajattelit?” Vastauksen lisäksi kannattaa kiinnostua siitä, millä tavalla lapsi ratkaisi tehtävän.

Sormet ovat hyvä alku, mutta eivät ainoa strategia

Sormilla laskemista ei tarvitse nähdä joko hyvänä tai pahana. Se on yksi hyödyllinen vaihe ja väline matemaattisen ajattelun kehittymisessä.

Lapsen pitäisi kuitenkin saada kokemuksia myös muista tavoista hahmottaa lukuja. Kun hän oppii tunnistamaan pieniä lukumääriä, hajottamaan lukuja ja käyttämään viittä ja kymmentä apuna, laskeminen muuttuu vähitellen sujuvammaksi.

Jos sormilla laskeminen pysyy pitkään ainoana keinona ratkaista pienetkin laskut, lasta ei pidä moittia eikä sormia kieltää. Silloin kannattaa selvittää, mikä taito tarvitsee lisää harjoitusta ja millaiset välineet auttaisivat lasta etenemään.

Laskeeko lapsesi kaiken edelleen yksitellen tai unohtuvatko juuri harjoitellut laskut nopeasti? Kysy vapaata asiakaspaikkaa. Voimme yhdessä selvittää, mistä vaikeus alkaa ja miten taitoja kannattaa vahvistaa.

Sormilla laskeminen huolestuttaa monia vanhempia. Pitäisikö lapsen jo osata laskea päässä? Jääkö hän riippuvaiseksi sormistaan, jos niiden käyttäminen sallitaan? Pitäisikö sormet käskeä pois näkyvistä?

Minun vastaukseni on selvä: sormilla laskemista ei pidä kieltää.

Sormet ovat lapsen ensimmäinen matematiikan väline. Ne ovat aina mukana, niitä on kymmenen ja niiden avulla lukumäärät voidaan nähdä ja tuntea. Sormilla laskeminen ei siis ole huono tapa eikä sellaisenaan merkki matematiikan oppimisvaikeudesta.

Olennaisempaa on seurata, miten lapsi käyttää sormiaan ja kehittyvätkö hänen laskustrategiansa vähitellen.

Miksi lapsi laskee sormilla?

Pieni lapsi oppii usein ensin lukusanat loruna: yksi, kaksi, kolme, neljä ja niin edelleen. Lukujen luetteleminen ei vielä tarkoita, että lapsi ymmärtää lukumäärän.

Sormet auttavat yhdistämään lukusanan, näkyvän määrän ja oman kehon kokemuksen. Kun lapsi nostaa kolme sormea, hän voi yhtä aikaa kuulla sanan kolme, nähdä kolme sormea ja tuntea niiden liikkeen.

Tämä tekee muuten melko abstraktista luvusta konkreettisen.

Sormet auttavat myös huomaamaan lukujen rakenteita. Yhdessä kädessä on viisi sormea ja kahdessa kädessä kymmenen. Seitsemän voidaan nähdä viitenä ja kahtena. Kahdeksan on kaksi vähemmän kuin kymmenen. Nämä havainnot rakentavat myöhempää päässälaskutaitoa.

Tutkimuksissa sormien tuntemisen ja varhaisten matemaattisten taitojen välillä on havaittu yhteyksiä. Sormien käyttäminen voi tukea lukumäärien hahmottamista, laskemista ja ensimmäisten yhteen- ja vähennyslaskujen oppimista.

Sormilla laskeminen ei ole oppimisvaikeuden merkki

Lapsi voi käyttää sormiaan ja olla samalla matemaattisesti taitava. Itse asiassa sormet voivat olla hyvin järkevä laskustrategia silloin, kun lapsi vasta rakentaa käsitystään luvuista ja laskutoimituksista.

Huolestuttavampaa olisi, jos lapsi ei saisi käyttää mitään apuvälineitä mutta ei myöskään ymmärtäisi, mitä laskussa tapahtuu. Sormien piilottaminen pöydän alle ei tee laskemisesta kehittyneempää. Se tekee käytössä olevasta strategiasta vain vaikeamman nähdä.

Jos lapsi häpeää sormien käyttämistä, hän voi alkaa keskittyä niiden piilottamiseen itse laskemisen sijasta. Silloin energiaa kuluu aivan väärään asiaan.

Siksi en kiellä sormilla laskemista. Katson mieluummin tarkasti, millä tavalla lapsi niitä käyttää.

Kaikki sormilla laskeminen ei ole samanlaista

Ajatellaan laskua 3 + 4.

Lapsi voi ensin nostaa kolme sormea ja laskea ne yksitellen: yksi, kaksi, kolme. Sen jälkeen hän nostaa neljä sormea ja laskee taas: yksi, kaksi, kolme, neljä. Lopuksi hän laskee kaikki seitsemän sormea uudelleen alusta.

Vastaus tulee oikein, mutta työvaiheita on paljon. Jokainen uusi laskeminen lisää myös erehtymisen mahdollisuutta.

Kehittyneemmässä strategiassa lapsi tunnistaa kolme sormea laskematta niitä yksitellen. Hän pitää luvun kolme mielessään ja jatkaa siitä: neljä, viisi, kuusi, seitsemän.

Vielä myöhemmin lapsi voi nähdä, että 3 + 4 on sama kuin tuttu yhdistelmä 4 + 3 tai että luvut muodostavat yhdessä seitsemän. Vähitellen vastaus palautuu mieleen ilman sormien nostamista.

Tavoitteena ei siis ole ottaa sormia pois. Tavoitteena on auttaa lasta kehittämään niiden avulla parempia laskustrategioita.

Milloin sormilla laskemiseen kannattaa kiinnittää huomiota?

Sormilla laskeminen kuuluu tavalliseen matematiikan oppimiseen erityisesti varhaislapsuudessa ja ensimmäisinä kouluvuosina. Yksittäinen ikäraja ei kuitenkaan kerro, milloin sormista pitäisi luopua.

Tilannetta kannattaa tarkastella tarkemmin, jos:

• lapsi laskee pienetkin lukumäärät aina yksitellen
• jokainen lasku alkaa uudelleen luvusta yksi
• lapsi ei tunnista esimerkiksi kahta, kolmea tai neljää sormea ilman laskemista
• yksinkertaiset yhteen- ja vähennyslaskut eivät ala sujuvoitua harjoittelusta huolimatta
• laskeminen on hyvin hidasta ja virheitä tulee paljon
• lapsi unohtaa helposti, mitä oli laskemassa
• suurempiin lukuihin siirtyminen ei onnistu, koska sormet loppuvat kesken
• lapsi välttelee matematiikkaa tai pitää itseään huonona laskijana.

Silloinkaan ongelma ei ole sormien käyttäminen. Sormilla laskeminen voi tehdä näkyväksi sen, että lukumäärien hahmottaminen, lukujonotaidot tai pienet laskustrategiat tarvitsevat vielä vahvistamista.

Näin voit auttaa lasta kotona

Älä pyydä lasta vain laskemaan nopeammin. Tutkikaa sen sijaan yhdessä, miten luvut rakentuvat.

Voitte harjoitella esimerkiksi näin:

• Näytä nopeasti kaksi, kolme tai neljä sormea ja kysy, kuinka monta niitä on. Tarkoitus on tunnistaa määrä ilman yksitellen laskemista.
• Näytä viisi sormea ja sulje niistä osa. Kysy, kuinka monta jäi näkyviin ja kuinka monta meni piiloon.
• Muodostakaa sama luku eri tavoilla. Esimerkiksi seitsemän voi olla viisi ja kaksi, neljä ja kolme tai kuusi ja yksi.
• Harjoitelkaa jatkamaan lukujonoa annetusta luvusta. Aloittakaa esimerkiksi neljästä: neljä, viisi, kuusi, seitsemän.
• Verratkaa määriä. Kummassa kädessä on enemmän sormia? Kuinka monta enemmän?
• Käyttäkää sormien rinnalla helmiä, pistekortteja, noppia ja muita välineitä.

Tärkeää on kysyä välillä: ”Miten ajattelit?” Vastauksen lisäksi kannattaa kiinnostua siitä, millä tavalla lapsi ratkaisi tehtävän.

Sormet ovat hyvä alku, mutta eivät ainoa strategia

Sormilla laskemista ei tarvitse nähdä joko hyvänä tai pahana. Se on yksi hyödyllinen vaihe ja väline matemaattisen ajattelun kehittymisessä.

Lapsen pitäisi kuitenkin saada kokemuksia myös muista tavoista hahmottaa lukuja. Kun hän oppii tunnistamaan pieniä lukumääriä, hajottamaan lukuja ja käyttämään viittä ja kymmentä apuna, laskeminen muuttuu vähitellen sujuvammaksi.

Jos sormilla laskeminen pysyy pitkään ainoana keinona ratkaista pienetkin laskut, lasta ei pidä moittia eikä sormia kieltää. Silloin kannattaa selvittää, mikä taito tarvitsee lisää harjoitusta ja millaiset välineet auttaisivat lasta etenemään.

Laskeeko lapsesi kaiken edelleen yksitellen tai unohtuvatko juuri harjoitellut laskut nopeasti? Kysy vapaata asiakaspaikkaa. Voimme yhdessä selvittää, mistä vaikeus alkaa ja miten taitoja kannattaa vahvistaa.

Lähteitä

Soylu, F., Lester, F. K. & Newman, S. D. (2018). The Role of Fingers in Early Mathematical Development.

Barrocas, R. ym. (2020). Putting a Finger on Numerical Development – Reviewing the Contributions of Kindergarten Finger Gnosis and Fine Motor Skills to Numerical Abilities.